Suites et séries de fonctions

Pas de pré-requis

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Convergences : convergence simple pour une suite ou une série de fonctions, domaine de convergence, propriétés préservées et non préservées par limites simples. Convergence uniforme, norme infinie d'une fonction bornée, propriétés conservées par convergence uniforme (double limite, continuité, dérivabilité, échange limite-intégrale sur un segment). Convergence normale d’une série de fonctions, lien avec la convergence uniforme et absolue.
Séries entières : retour sur le lemme d'Abel et le rayon de convergence, la série dérivée (vus au S4). Propriétés de la somme d'une série entière sur l'intervalle de convergence. Développement en série entière des fonctions usuelles.
Introduction aux séries de Fourier (cas des fonctions réelles) : produit scalaire sur l’espace des fonctions continues 2pi-périodiques, polyn?mes et séries trigonométriques, série de Fourier d’une fonction réelle continue 2pi-périodique, interprétation des sommes partielles comme projections orthogonales, énoncé de l’égalité de Parseval pour les fonctions continues par morceau), notion de fonction de classe C1 par morceaux et théorème de Dirichlet.

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